초등수학에서 퀴즈네르 막대의 활용 방안
수학교육과 류성림
1. 퀴즈네르 막대란?
우리 나라의 제7차 수학과 교육과정에서 강조하고 있는 핵심적인 교수․학습 방법 중의 하나는 학생 중심의 활동을 강조하는 수업이다. 활동에는 신체를 활용하여 구체적 조작 교구를 취급하는 외적 활동과 내면의 세계에서 탐구하고 사고하는 활동인 내적 사고활동이 있으며, 일반적으로 수학에서는 이들 두 가지 활동을 모두 강조하고 있다. 내적 사고활동이 잘 일어나기 위해서는 먼저 구체적 조작 교구에 의한 외적 사고활동이 충실히 이루어져야 하며, 이 때 중요한 것은 행위로서의 활동성은 목적이 아니라 수단이라는 점이다. 따라서 외적인 행위가 내적인 개념 형성으로 전환되는 ‘내면화’가 이루어지도록 활동을 유발시키는 구체적 상황의 구성과 실세계를 경험하도록 돕는 교구의 개발과 활용이 필요하다.
흔히 수학은 추상을 다루는 학문으로 알려져 있다. 추상적인 수학의 세계로 들어서기 위해서는 구체적 조작물의 사용이 절대적으로 필요한 바, 수학 학습에서 교구 사용의 목적은 학생이 자신의 구체적 환경과 수학의 추상적 수준 사이의 틈새를 연결하도록 도와주는 것이다(Fennema, 1973). 또한 조작 교구의 활용은 수학 학습의 본질적 목적이외에도 수학 학습 동기와 흥미를 유발하는 효과를 거둘 수 있는 장점을 가지고 있다. 따라서 학생들의 인지 수준이 구체적 조작 수준이 대부분인 초등학교에서는 조작 교구의 개발과 활용이 더욱 필요하다고 할 수 있다.
학교 수학 학습에서 활용할 수 있는 교구에는 퀴즈네르 막대, 딘즈 블록, 기하판, 속성판, 패턴블록, 탱그램, 쌓기나무, 대수타일 등의 여러 가지가 있으며, 이 중 퀴즈네르 막대는 수학적 구조 특히 수의 구조를 구체화 할 수 있는 유용한 조작 교구이다. 수학에서 수 개념의 형성은 다른 어떤 영역보다도 우선적으로 지도되어야 하며, 수 체계의 구조에 대한 이해와 이를 바탕으로 계산 기술의 습득이 자연스럽게 이루어져야 하는 바, 수의 구조에 대한 이해를 도울 수 있는 교구의 활용이 더욱 강조되어야 할 것이다. 퀴즈네르 막대는 수와 계산지도를 위한 효과적인 교구로서 전세계적으로 권장되어 왔으며, 실제로 개념 중심의 수학 자료들 중에서도 학교 교사들에게 가장 많이 채택되어 사용되어오고 있는 교구이다(Resnick & Ford, 1981). 현재는 수와 연산 영역 뿐 아니라 모든 영역에서 적절하게 지도할 수 있는 활용방안이 연구되고 있으며, 실제로 패턴블록, 쌓기나무 등 다른 조작 교구를 대신하여 유용하게 활용할 수 있다.
퀴즈네르 막대(Cuisenaire color rods)는 40여년 전 벨기에의 초등학교 교사였던 조지 퀴즈네르(George Cuisenaire)와 영국의 수학교육자인 가테그노(Caleb Gattegno)가 공동으로 창안해 낸 것이다(김남희, 1999). 음악에도 능했던 퀴즈네르는 악보에서 음의 높낮이에 힌트을 얻어 수들의 관계를 높낮이로 나타내고, 색깔도 달리 나타내었다.
퀴즈네르 막대는 한 세트가 모두 74개로 이루어져 있으며, 수의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈을 할뿐만 아니라, 약수와 배수를 구할 수 있고, 분수의 덧셈과 뺄셈을 할 수 있다. 또한 길이를 측정하고, 넓이를 구하며, 부피도 구할 수 있다.
이 교구는 무엇보다도 아동에게 직접 계산법을 주입시키는 것이 아니라 계산의 기초가 되는 수학적 관계를 먼저 의식시키고자 하는데 그 특징이 있다. 아동은 막대를 서로 맞추는 과정에서 수 사이의 관계들을 탐구할 수 있는 것이다. 예컨대, 연두색 막대(3cm) 하나와 또 다른 연두색 막대 하나를 연결하면 초록색 막대(6cm)의 길이와 같아진다는 사실은 3＋3=6 또는 2×3=6을 의미하는 것이며, 이러한 결과로 수직선의 구성과 그 위에서의 연산의 원리를 구체적인 모델을 통해 이해할 수 있게 되는 것이다. 특히 Gattegno는 이 교구를 이용하여 초등수학의 계산 영역에 대한 전체적인 지도 체계를 작성하여 보급하려고 노력하였다(김응태, 박한식, 우정호, 1985). 또한 현재 미국에서는 퀴즈네르 막대를 활용하여 학습할 수 있는 활동지(workbooks)를 개발하여 보조자료로 활용할 수 있도록 보급하고 있고, 우리 나라에서는 일부 학회지나 논문 등에서 간략하게 소개하는 정도이며, 제7차 교육과정의 수학교과서에 이를 도입하여 활용할 수 있도록 연구할 필요가 있다.
2. 초등학교 수학에서 퀴즈네르 막대의 활용 예
퀴즈네르 막대는 자연수의 여러 가지 측면, 즉 기수, 순서수, 셈수, 측정수, 연산자 등의 여러 가지 측면의 지도와 그 상호관련성의 지도 나아가 자연수의 사칙연산과 분수 지도 등에도 매우 유용한 교구이다. 또한 퀴즈네르 막대는 수와 연산 영역뿐만 아니라 단순히 길이와 색만을 이용한 막대들의 속성을 이용하여 확률, 비율, 넓이, 둘레의 길이, 대칭, 합동, 3차원 기하, 패턴, 함수 등을 탐구하는데도 이용할 수 있다.
제7차 수학과 교육과정에서 퀴즈네르 막대의 활용이 가능한 내용을 학년별, 영역별로 정리하면 <표 1>과 같다.
<표 1> 퀴즈네르 막대 활용이 가능한 초등수학의 내용
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퀴즈네르 막대를 활용할 수 있는 초등수학의 내용 |
교육과정 영역 |
해당학년 |
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막대(임의의 측정단위)를 이용한 길이 측정 및 길이 어림 |
측정 |
1학년 |
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(한 자리 수)자연수의 덧셈, 뺄셈 |
수와 연산 |
1학년 |
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막대를 이용한 주어진 공간 채우기 |
도형 |
1, 2학년 |
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자릿값 및 십진수의 지도 |
수와 연산 |
2, 3학년 |
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분수로 나타내기 |
수와 연산 |
3학년 |
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자연수의 곱셈과 나눗셈, 곱셈의 교환법칙의 표현 |
수와 연산 |
3학년 |
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막대그래프로 나타내기 |
확률과 통계 |
3학년 |
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패턴 익히기(증가, 반복, …) |
규칙성과 함수 |
1-4학년 |
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분수의 의미, 분수의 크기 비교 |
수와 연산 |
3, 4학년 |
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동치분수 찾기 |
수와 연산 |
4, 5학년 |
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회전이동, 대칭이동 |
도형 |
5학년 |
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분수의 덧셈, 뺄셈 |
수와 연산 |
5학년 |
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선대칭 익히기 |
도형 |
5학년 |
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흰 막대를 단위 부피로 생각하여 직육면체의 부피 구하기 |
측정 |
5학년 |
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약수와 배수, 공약수와 공배수, 최대공약수와 최소공배수 |
수와 연산 |
5학년 |
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평균 구하기 |
확률과 통계 |
5학년 |
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비와 비율(비의 표현 및 비례식) |
규칙성과 함수 |
6학년 |
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쌓기로 모양 만들기 |
도형 |
6학년 |
다음에서는 각 학년에서 활용할 수 있는 활동의 예 몇 가지를 들어보겠다.
1. 자연수의 덧셈과 뺄셈
◉ 영역: 수와 연산
◉ 관련학년: [1-가 단계] 5. 더하기와 빼기, [1-나 단계] 4. 10이 되는 더하기와 10에서 빼기, 6. 더하기와 빼기(1), 7. 더하기와 빼기(2), [2-가 단계] 2. 두자리 수의 덧셈과 뺄셈(1), 4. 두자리 수의 덧셈과 뺄셈(2)
◉ 학습목표: 한자리 수와 두자리 수의 덧셈과 뺄셈을 할 수 있다.
◉ 준비물: 퀴즈네르 막대 세트
◉ 유의점: 수의 가르기와 모으기, 즉 수의 분해와 합성 활동이 충분히 이루어진 다음 하는 것이 바람직하며, 세자리 수 이상의 덧셈과 뺄셈을 위해 딘즈의 십진 블록을 활용하는 것이 보다 효율적일 수도 있다. 흰색 막대(1cm)를 적절히 활용할 수 있어야 한다.
[활동 1-1] 다른 퀴즈네르 막대를 이용하여 분홍색 막대(4cm)와 크기가 같도록 늘어놓으시오.
(단계) ① 그림과 같이 흰색 막대(1cm), 빨간색 막대(2cm), 연두색 막대(3cm)를 이용하여 다양하게 늘어놓는다.
② 다음과 같은 발문을 하여 수의 합성과 분해에 대한 수 감각을 기를 수 있도록 한다.
․ 4를 두 개의 수로 갈라보시오.
․ 4를 세 개의 수로 갈라보시오.
․ 4를 네 개의 수로 갈라보시오.
․ 1이 네 개면 얼마입니까?
․ 2가 한 개 1이 두 개면 얼마입니까?
․ 2가 두 개면 얼마입니까?
․ 3이 한 개 1인 한 개면 얼마입니까?
[활동 1-2] 퀴즈네르 막대를 활용하여 17+8을 어떻게 계산하면 되는지 알아보시오.
(단계) ① 17과 8의 수 모형을 늘어놓으시오.
주황색 막대(10cm)와 흰색 막대(1cm)를 이용하여 17과 8을 만들어 배열한다.
② 낱개끼리 더하시오.
낱개 7과 8을 더하여 십 모형이 1개 낱개 모형이 5개임을 안다.
③ 17+8은 얼마입니까?
십 모형이 2개 낱개 모형이 5개이므로 17+8은 25임을 알 수 있다.
2. 막대의 가르기와 모으기
◉ 영역: 수와 연산
◉ 관련학년: [1-가 단계] 4. 가르기와 모으기, [1-나 단계] 3. 10을 가르기와 모으기
◉ 학습목표: 흰색 막대를 이용하여 1에서 9까지의 수를 가르고 모으는 활동을 통해 수 감각을 익힌다.
◉ 준비물: 퀴즈네르 막대 세트, , , …, , 까지의 숫자 카드
◉ 유의점: 이 활동은 퀴즈네르 막대로만 할 수 있는 활동은 아니며, 다른 여러 가지 물건을 사용하여 많은 경험을 시켜줄 필요가 있다. 길이가 1cm인 흰색 막대를 이용하여 여러 가지 수의 가르기와 모으기 활동을 통해 더하기와 빼기의 기초로서 수 감각을 익히도록 한다. 특히 주어진 수와 0으로 가르기와 모으기 활동을 통해 0의 개념을 익히도록 한다.
[활동 2-1] (1) 흰색 막대를 갈라놓아 보시오. 오른쪽 □ 안에 알맞은 숫자 카드를 놓으시오.
(2) 흰색 막대를 모아 보시오. 오른쪽 □ 안에 알맞은 숫자 카드를 놓으시오.
모은 흰색 막대와 길이가 같은 막대를 찾아 길이를 맞추어 놓아 보시오.
[활동 2-2] 흰색 막대가 3개 , 4개, …, 9개, 10개인 경우에 대해서도 위의 [활동 1]과 같은 가르기와 모으기 활동을 하도록 한다.
[활동 2-3] (1) 오른쪽 그림과 같이 길이가 1cm인 흰색 막대가 7개 놓여 있고, 공기놀이를 하였습니다. 한 손으로 3개를 잡았다면 바닥에는 몇 개가 남아 있습니까? 이와 같은 식으로 공기놀이를 할 때 손에 잡은 막대의 수와 바닥에 놓인 막대의 수를 표 안에 기록합니다.
(2) 바닥에 놓은 막대의 수를 바꾸어 가면서 위의 놀이를 해 봅시다.
3. 분수의 표현
◉ 영역: 수와 연산
◉ 관련학년: [3-가 단계] 7. 분수 [3-나 단계] 6. 분수와 소수
◉ 학습목표: 퀴즈네르 막대로 부분과 전체의 크기를 비교하여 분수를 나타낼 수 있다.
분수의 크기를 비교할 수 있다.
◉ 준비물: 퀴즈네르 막대 세트
◉ 유의점: 기준이 되는 막대부터 먼저 선정해야 되며, 여러 가지 도형을 똑같이 나누는 활동을 한 다음 하는 것이 바람직하다.
[활동 3-1] 퀴즈네르 막대로 분수 을 나타내어 보자.
[단계] ① 기준(전체의 크기)이 되는 막대를 결정한다.
기준이 될 막대 결정
(예) 갈색막대
② 기준 막대를 똑같이 4부분으로 나누는 막대 찾기: 이 때 빨간색 막대(2cm)를 바로 찾아내는 학생도 있겠지만 어떤 학생들은 흰색 막대(1cm)나 연두색 막대(3cm)를 올려 보는 등의 시행착오를 거친 후에 빨간색 막대를 찾을 수도 있을 것이다.
기준막대를 4부분으로 분할
③ 갈색 막대(8cm)를 똑같이 분할하는 4개의 막대 중에서 3개의 막대만을 연결한 길이에 해당하는 막대 찾기: 초록색 막대(6cm)를 찾을 것이다.
의 크기를 갖는 막대 찾기
④ 위의 활동에서 분수 을 인식한다.
[활동 3-2] 만약 전체의 크기로서 갈색 막대(8cm)를 이용하여 분수 을 나타내고자 한다면 부분을 어떤 막대를 이용하여 나타내면 되겠는가?
또 과 의 크기는 다른가? 같은가?
[활동 3-3] 과 은 어느 분수가 더 큰지 알아보시오.
오른쪽 그림과 같이 퀴즈네르 막대를 이용하여 분수를 나타내게 하고 다음 물음에 답하게 한다. 이 때 같은 기준에 대한 부분의 크기를 직관적으로 파악할 수도 있을 것이다.
1) 이 몇이면 입니까?
2)) 이 몇이면 입니까?
3) 과 은 어느 것이 더 크다고 생각합니까?
왜 그렇게 생각했습니까?
[활동 3-4] 분모가 다른 분수의 크기를 퀴즈네르 막대를 활용하여 비교하는 활동을 해 봅시다.
1) 과 은 어느 것이 더 큰지 퀴즈네르 막대를 이용하여 알아보시오.
2) 과 은 어느 것이 더 큰지 퀴즈네르 막대를 이용하여 알아보시오.
3) 과 은 어느 것이 더 큰지 퀴즈네르 막대를 이용하여 알아보시오.
4. 최소공배수 구하기
◉ 영역: 수와 연산
◉ 관련학년: [5-가 단계] 1. 배수와 약수
◉ 학습목표: 퀴즈네르 막대를 이용하여 두 수의 최소공배수를 구할 수 있다.
◉ 준비물: 퀴즈네르 막대 세트
◉ 유의점: 배수와 공배수의 개념을 충분히 익히게 한 다음 지도해야 한다.
[활동 4-1] 3과 4의 최소공배수를 구하여라.
(단계) ① 연두색 막대(3cm)와 보라색 막대(4cm)를 왼쪽의 끝을 맞추고 나란히 늘어놓는데, 첫 번째로 길이가 같을 때까지 늘어놓는다.
②주황색 막대(10cm)와 흰색 막대(1cm)를 이용하여 전체의 길이를 구하면, 최소공배수이다. 즉, 3과 4의 최소공배수는 12이다.
※ 마지막 길이를 구할 때는 흰색 막대만을 사용하여 구해도 되며, 역으로 12의 공약수가 3과 4가 될 수 있음을 인식시킨다.
[활동 4-2] 2와 5, 12와 30의 최소공배수를 퀴즈네르 막대를 이용하여 나타내고 구하여라.
5. 분모가 다른 분수의 덧셈과 뺄셈
◉ 영역: 수와 연산
◉ 관련학년: [5-가 단계] 5. 분수의 덧셈과 뺄셈
◉ 학습목표: 퀴즈네르 막대를 이용하여 분모가 다른 분수의 덧셈과 뺄셈을 할 수 있다.
◉ 준비물: 퀴즈네르 막대 세트
◉ 유의점: 분수의 통분과 최소공배수의 개념을 충분히 익힌 다음 지도해야 한다.
[활동 5-1] 이 얼마인지 알아보아라.
(단계) ① 분모 3와 4의 최소공배수를 찾는다. [활동 3-1]과 같은 방법으로 최소공배수 12를 찾는다.
② 위의 그림에서 보라색 막대 하나가 이므로 는 보라색 막대 2개에 해당하는 갈색 막대(8cm)를 보라색 막대 2개 위에 얹어놓으면 을 알 수 있다.
마찬가지로 연두색 막대 하나가 이므로 임을 알 수 있다.
③ 갈색 막대(8cm) 하나와 다른 연두색 막대(4cm) 하나를 최소공배수를 나타내는 길이가 12인 막대와 가지런히 늘어놓으면 임을 알 수 있다.
[활동 5-2] 를 계산하는 방법에 대해 알아보아라.
(1) 퀴즈네르 막대를 활용하여 가 얼마인지 알아보아라.
(2) 과 를 통분하여 보아라.
(3) 위의 (2)를 이용하여 를 계산하여 보아라.
[활동 5-3] 이 얼마인지 퀴즈네르 막대를 이용하여 알아보아라.
6. 넓이 구하기
◉ 영역: 측정
◉ 관련학년: [5-가 단계] 6. 평면도형의 둘레와 넓이
◉ 학습목표: 퀴즈네르 막대를 이용하여 주어진 평면도형의 둘레의 길이와 넓이를 구할 수 있다.
◉ 준비물: 퀴즈네르 막대 세트, 모눈종이
◉ 유의점: 모눈종이 위에서의 다양한 활동을 한 다음 일반 종이 위에서의 평면도형의 둘레의 길이와 넓이를 구하는 연습을 한다. 각각의 막대는 모두 한 변의 길이가 1cm이므로 막대가 차지하는 부분의 넓이는 길이의 값과 같음을 인식시킨다. 도형을 채우는 활동도 같이 이루어지므로 공간추론능력도 기를 수 있다.
[활동 6-1] 다음 주어진 도형의 넓이를 퀴즈네르 막대를 이용하여 구하여라.
주어진 도형의 넓이는 다음과 같이 흰색 막대(1cm), 빨간색 막대(2cm), 연두색 막대(3cm), 분홍색 막대(4cm) 등 다양한 크기의 막대를 활용하여 도형을 채운 다음 넓이를 구할 수 있도록 한다.
따라서 넓이는 16㎠이다.
[활동 6-2] 막대를 사용하여 다음 도형의 넓이를 구하여 봅시다.
7. 도형 움직이기
◉ 영역: 도형
◉ 관련학년: [3-가 단계] 5. 도형 움직이기
◉ 학습목표: 막대를 이용하여 도형을 위쪽, 아래쪽, 왼쪽, 오른쪽으로 각각 옮기고, 뒤집었을 때와 돌렸을 때의 모양을 만들 수 있다.
◉ 준비물: 퀴즈네르 색막대 세트
◉ 유의점: 퀴즈네르 막대를 잘 활용하면 평면도형을 단순히 옮겨 그리는 활동보다 공간 감각을 기르는데 효율적일 수 있으므로 옮기기, 돌리기, 뒤집기 등 다양한 활동을 시키도록 한다.
[활동 7-1] 다음에서 가운데 도형을 위쪽, 아래쪽, 왼쪽, 오른쪽으로 옮겨 보시오. 어떤 모양이 나옵니까?
[활동 7-2] 다음에서 가운데 도형을 위쪽, 아래쪽, 왼쪽, 오른쪽으로 각각 뒤집어 보시오.
[활동 7-3] 다음에서 가운데 도형을 표시된 방향으로 각각 돌려 보시오.
8. 도형의 대칭
◉ 영역: 도형
◉ 관련학년: [5-나 단계] 5. 도형의 대칭
◉ 학습목표: 막대로 선대칭의 위치에 있는 도형을 만들게 하고 결과를 비교하여 공간 감각능력을 기를 수 있다.
◉ 준비물: 퀴즈네르 막대 세트, 모눈종이
[활동 8-1] 다음에서 주황색 막대를 대칭축으로 하여 선대칭의 위치에 있도록 막대를 나열해 보아라.
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주황색 |
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흰 |
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연두색 |
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빨강 |
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보라색 |
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연두색 |
빨강 |
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흰 |
흰 |
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(1)
퀴즈네르 막대로 직접적인 활동을 한 다음 모눈종이에 선대칭이 되는 같은 모양의 평면도형을 그리고 색칠하는 부가활동을 시킨다. 그리고 대칭축을 그려보게 한다.
(2)
(3)
(4)
9. 모양 만들기
◉ 영역: 도형
◉ 관련학년: [5-가 단계] 2. 무늬 만들기
◉ 학습목표: 퀴즈네르 막대를 이용하여 주어진 모양을 여러 가지 방법으로 맞출 수 있다.
◉ 준비물: 퀴즈네르 막대 세트
◉ 유의점: 길이와 색이 다른 여러 가지 막대를 이용하여 다양한 방법으로 모양을 맞추는 활동을 함으로써 창의력과 공간감각을 기르도록 한다. 아울러 넓이와 둘레의 길이를 구하는 활동을 같이 할 수도 있다.
[활동 9-1] (1) 10개의 색깔 막대를 한 번씩 사용하여 다음의 모양을 덮어 봅시다.
또 다른 방법으로 해 봅시다.
(2) 10개의 색깔 막대를 한 번씩 사용하여 다음의 모양을 덮어 봅시다.
또 다른 방법으로 해 봅시다.
(3) 2가지 색깔 막대를 8개 사용하여 다음의 모양을 덮어 봅시다.
또 다른 방법으로 해 봅시다.
(4) 2가지 색깔 막대를 14개 사용하여 다음의 모양을 덮어 봅시다.
또 다른 방법으로 해 봅시다.
10. 평균 구하기
◉ 영역: 확률과 통계
◉ 관련학년: [5-나 단계]
◉ 학습목표: 퀴즈네르 막대를 이용하여 자연수의 평균을 구할 수 있다.
◉ 준비물: 퀴즈네르 막대 세트
◉ 유의점: 퀴즈네르 막대로 평균을 구하는 방법을 생각해 보게 함으로써 평균의 의미를 보다 이해하는데 도움을 주도록 한다.
[활동 10-1] 다음 수들의 평균을 퀴즈네르 막대를 이용하여 구하여보자.
2, 6, 5, 3, 7, 4, 1, 2, 6
(단계) ① 위의 수에 해당하는 퀴즈네르 막대를 이용하여 막대그래프를 나타내도록 한다.
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검정
7cm |
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녹색
6cm |
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녹색
6cm |
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노랑
5cm |
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보라
4cm |
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연두
3cm |
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빨강
2cm |
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빨강
2cm |
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흰색 |
② 막대를 일렬로 나란히 늘어놓은 다음 평균이 될 것으로 생각되는 막대를 끝을 맞추어 가지런히 늘어놓을 때 길이가 같게되면 그 막대가 평균이 된다.
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빨강 |
녹색 |
노랑 |
연두 |
검정 |
보라 |
흰 |
빨강 |
녹색 |
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보라 |
보라 |
보라 |
보라 |
보라 |
보라 |
보라 |
보라 |
보라 |
③ 또는 막대를 모두 흰색 막대(1cm)로 길이만큼 바꾼 다음 높이를 똑같이 맞추었을 때의 길이가 평균이 된다.
11. 쌓기로 모양 만들기
◉ 영역: 도형
◉ 관련학년: [6-가 단계] 4. 쌓기나무
◉ 학습목표: 퀴즈네르 막대로 여러 가지 모양의 쌓기를 했을 때의 공간 감각을 기르고, 규칙성을 찾을 수 있다.
◉ 준비물: 퀴즈네르 막대 세트
◉ 유의점: 쌓기로 모양을 만들 때는 가능하면 쌓기 나무를 활용하도록 하고, 쌓기 나무가 없을 때는 퀴즈네르 막대의 흰색 막대 등을 활용하도록 한다. 또 단위 정육면체로 쌓은 모양을 길이가 같은 다른 막대로 바꾸어 쌓는 활동을 통해 모양의 크기에 대한 감각을 기를 수 있도록 한다.
[활동 11-1] (1) 퀴즈네르 막대의 흰색 막대(1cm)로 그림과 같은 모양을 만들어 보고, 규칙을 찾아보아라.
(2) 위의 그림을 가로로 길이가 같은 다른 막대로 바꾸어 쌓아보아라. 또 세로로 길이가 같은 다른 막대로 바꾸어 쌓아보아라.
[활동 11-2] (1) 규칙을 정하여 퀴즈네르 막대의 흰색 막대(1cm)로 다음과 같은 모양을 만들어보아라.
(2) 위의 그림을 가로로 길이가 같은 다른 막대로 바꾸어 쌓아보아라. 또 세로로 길이가 같은 다른 막대로 바꾸어 쌓아보아라.
[활동 11-3] 퀴즈네르 막대로 그림과 같이 만들고, 이것을 위, 앞, 옆에서 본 모양을 각각 그려보아라.
(1) 퀴즈네르 막대로 그림과 같게 만들어보아라.
(2) 위, 앞, 옆에서 본 모양을 각각 다음 모눈종이에 그려라.
[활동 11-4] 위, 앞, 옆에서 본 모양이 다음과 같을 때, 퀴즈네르 막대로 만들어보아라.
학교에서의 수학은 여러 가지 수준이 있으며, 보다 높은 수준인 추상적, 형식적, 논리적 수준으로의 발전을 위해서는 구체적 경험이나 활동을 많이 시켜줄 필요가 있다. 굳이 Piaget의 인지발달단계 이론이나 Bruner의 EIS 이론을 들지 않더라도, 초등학교 수학에서의 대부분의 내용은 구체적, 비형식적, 직관적 수준에서 구체적 조작 자료에 의한 충분한 활동을 통해 점차 추상적, 형식적, 논리적 수준으로 발전하도록 지도되어야 함은 이론의 여지가 없을 것이다. 물론 구체적 교구를 활용했다고 해서 모든 수학적인 의미를 이해하고 표현하며 기호화하는데 도움이 되는 것은 아니다. 이 문제를 해결하려면 Suydam(1982)과 Moser(1986)가 언급한 다음과 같은 물음에 대해 한번쯤 생각해보아야 할 것이다: 성취에 긍정적인 영향을 주는가? 모든 학습자에게 유익한가? 어떤 수학 내용에 적합한가? 누구에 의해 다루어지는 것이 효과적인가-교사인가, 학생인가? 하나의 수학적 개념을 이해시키기 위해 몇 가지 조작교구가 제시되어야 하는가? 어떤 방식의 수업이 조작교구 도입에 효과적인가-개방인가, 구조화인가? 교수에 통합되어야 하는가 아니면 보조적이어야 하는가? 어떤 조작교구가 사용되어야 하는가? 어디서 사용되어야 하는가-수학실험실인가, 교실인가?
따라서 어떤 조작교구를 활용할 때는 위와 같은 물음에 대해 신중하게 확인해 볼 필요가 있을 것이다. 특히 그 중에서도 과연 교구가 그 내용에 적합한지, 학생들이 개별적으로 아니면 집단으로 다루어야 할 것인지, 학생들의 탐구활동은 어느 정도 일어날 것인지에 대한 세심한 배려가 있어야 할 것이다.
비록 본 글에서 다룬 조작교구인 퀴즈네르 막대가 만능인양 여러 가지 활동을 제시해 놓았지만, 여러 가지 연구 결과를 종합해 볼 때 퀴즈네르 막대는 기본적인 수 계산, 수 사이의 관계뿐 아니라 조작 활동을 통해 여러 가지 추상적 활동, 예컨대 결합법칙, 교환법칙, 분배법칙과 같은 수학적 구조나 나아가 분수의 의미, 연산과 같은 유리수까지도 다룰 수 있는 훌륭한 교구이다. 최근에는 수와 연산 영역에서의 활동으로 제한하지 않고 규칙성 찾기, 측정, 도형, 통계와 같은 다른 영역에서의 구체적 활동에 대해서도 활용 방안이 활발히 연구되고 있다.
그러나 퀴즈네르 막대를 활용하는 것이 항상 긍정적인 것만은 아니며, 다소의 부정적인 측면도 있음을 간과해서는 안 된다. 예컨대, 퀴즈네르 막대의 기본적인 특징인 막대와 수 사이의 대응과 길이가 색으로 구분되기 때문에 색채의 영향에 대해 신중을 기할 필요가 있다. ‘3+4=7’을 막대를 이용하여 나타내면 막대의 배열은 ‘연두색+분홍색=검정색’이 되는데 현실적으로 연두색과 분홍색을 섞으면 검정색이 되는 것은 아니다. 즉, 수의 등식과 실제 색 사이의 배합과 맞지 않는 경우가 많다. 비록 색이 본질적인 것은 아닐지라도 사고의 조작적 측면보다도 지각과 이미지에 의한 사고의 표상적 측면이 보다 우선적으로 받아들여질 수 있는 초등학교 학생들에게는 이러한 위험성을 염두에 두고 지도할 필요가 있다. 또한 교구를 다룰 때는 토파즈 효과, 죠르단 효과, 메타인지적 이동과 같이 교구 활용의 가치를 떨어지게 하는 상황이 발생하지 않도록 사고실험을 충분히 거친 후에 지도해야 할 것이다.
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